Вступ до стеріометрії (1-6)

Вступ до стереометрії

Опрацювавши цей модуль учні дізнаються:

які поняття в стереометрії є основними;

яка логічна побудова стереометрії;

які основні аксіоми впливають на побудову геометрії;

як визначається єдина площина;

чим відрізняються плоскі фігури від неплоских;

як виконують переріз куба, паралелепіпеда площиною, яка проходить через три точки; через пряму і точку поза нею.

Урок1.

Тема. Основні поняття стереометрії. Аксіоми стереометрії.

Мета: сформувати в учнів уявлення про стереометрію як частину геометрії; ознайомити з основними поняттями стереометрії та аксіомами стереометрії. Розвивати просторове уявлення учнів.

Обладнання: моделі многогранників, презентація.

Тип уроку: засвоєння нових знань

Хід уроку

І. Організаційний момент.

ІІ. Узагальнення та систематизація знань учнів.

1.      Назвіть фігури та об’єкти, які ви бачите (слайд2). З якими з них ви найчастіше мали справу на уроках геометрії? У кінці 9 класу ми познайомилися з многогранниками. Які ви запам’ятали? (демонстрація моделей + слайд 3). Давайте назвемо основні елементи прямокутного паралелепіпеда та піраміди (на моделях).

ІІІ. Формулювання мети, теми і завдань уроку.

Як ви бачите, діти, сьогодні ваші знання розширяться, тому що ми будемо більш детально знайомитися з фігурами у просторі. А допоможе нам в цьому розділ геометрії – стереометрія (слайд 4).

Історична сторінка (слайд5) + повідомлення учня.

ІV. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу.

1.      Основні фігури у просторі  - точка,пряма, площина (слайд 6). Учитель наводить приклади матеріальних моделей площини – поверхня підлоги, стола, шибки. Приклади зображення площин, позначення точок і прямих учні занотовують у зошит.

2.      Хто нагадає що таке аксіома? Аксіома – це твердження, яке не потребує доведення.

3.      Наведіть приклади відомих вам аксіом.

4.      Стереометрія теж має свої аксіоми (слайд 7). Учні схематично у зошит переносять малюнки.

V. Закріплення і осмислення нового матеріалу.

1. Робота за готовими малюнками (слайд 8 – 11).

2. Робота у різнорівневих групах  (слайд 12).

VІ. Підсумки уроку.

1.      Що вивчає стереометрія?

2.      Хто вважається автором терміну «стереометрія»? Як він переводиться?

3.      Назвіть основні фігури у просторі.

4.      Сформулюйте аксіоми стереометрії.

5.      Оцінки за урок

VІІ. Домашнє завдання (слайд 13).

Урок 2.

Тема. Існування площини, яка проходить через дану пряму і дану точку.

Мета: вивчення теореми про існування площини, яка проходить через дану пряму і дану точку, що не лежить на ній, як наслідок із аксіом стереометрії; учити застосовувати аксіоми і теорему при розв’язуванні задач.

Обладнання: моделі многогранників, презентація.

Тип уроку: засвоєння нових знань, формування вмінь.

Хід уроку.

І. Організаційний момент.

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

1.      Математичний диктант (слайд 2 , поваріантно – 10 учнів)
Користуючись зображенням, запишіть:

1)     Точки, які належать площині грані АВС;

2)     Точки, які не лежать у площині грані АВС;

3)     Спільні точки площин граней АВС і АВS;

4)     Пряму перетину площин граней АВС і SВС;

5)     Площину, яка проходить через прямі АВ і ВС;

6)     Площину, яка не містить жодної із прямих АВ і ВС.

2.      Математичний диктант (робота з карточками – останні учні ІІІ варіант).

Запишіть:

А) точки, що належать площині грані ABCD; (A, B, C, D, М)

Б) точки, що не лежать у площині грані ABCD; (A₁, B₁, C₁, D₁, R, F)

В) спільні точки площин граней ABCD і DCC₁D_1; ( D, M, C)

Г) пряму перетину площин граней ABCD і ВСС₁В₁; (BC)

Д) площину, що проходить через прямі АВ і В₁В; (ABB₁A₁)

Е) площини, що не містять прямі АВ і В₁В.( A₁B₁C₁D₁, DCC₁D₁)

3.      Самоперевірка – звірити з правильними відповідями (слайд 2– І, ІІ варіант ), відкидна дошка (ІІІ варіант).

4.      Сформулюйте аксіоми стереометрії. Яка з них дозволяє задати площину?

ІІІ. Формулювання теми уроку. Сприйняття й усвідомлення матеріалу.

Існує ще один спосіб визначення площини: через пряму і точку, яка їй не належить, можна провести площину і до того ж тільки одну. Цю теорему ми і доведемо з вами. (слайд 3 – існування площини)).

1.      Нехай а – дана пряма і С – точка, яка їй не належить(якою аксіомою користуємося?).

2.      Візьмемо точку D, яка лежить на прямій а(чому ми це можемо зробити?).

3.      Проведемо пряму DC.( на якій підставі?)

4.      Через прямі а і DC проведемо площину α ( чим скористаємося?).

Слайд 4 – єдиність такої площини.

Усні вправи – слайд 5 - 10.

ІV. Розв’язування вправ ( письмово) – слайд 11.

V. Підсумки уроку. Оголошення оцінок.

VІ. Домашнє завдання (слайд 12).

Урок 3.

Тема. Перетин прямої з площиною. Перерізи многогранників.

Мета: ознайомлення учнів із взаємним розташуванням прямої і площини  у просторі. Вивчення теореми про належність прямої до площини. Формування поняття перерізу многогранника. Розвивати конструктивно-графічну компетентність.

Обладнання: моделі многогранників, презентація.

Тип уроку: засвоєння нових знань, формування вмінь.

Хід уроку

І. Організаційний момент.

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

1.      Група  учнів (4-5) заповнюють картки контролю теоретичних знань.

Варіант1	Прізвище, клас	Варіант1	Прізвище, клас
1.    Якщо дві різні площини мають спільну точку, то __________________________ _________________________________ 2.      Через пряму і точку, ________________ ____________________________, можна провести___________________________. 3.      Яке тіло зображено на малюнку?__________ Вкажіть : Ребра ________________ Вершини _____________ Грані ________________ 4.      Установіть відповідність між заданими многогранниками (1-3) та їхніми властивостями (А-Г): 1 прямокутний             А має шість паралелепіпед                   вершин 2 чотирикутна              Б має шість піраміда                            граней 3 трикутна                    В має шість ребер призма                           Г має вісім ребер А Б В Г 1 2 3		1.      Яка б не була площина, існують точки, які ____________________________________ ____________________________________. 2.      Якщо дві різні _____________, мають спільну точку, то _____________________ ______________і до того ж _____________ 3.                   Яке тіло зображено на малюнку?__________ Вкажіть : Ребра ________________ Вершини _____________ Грані ________________ 4.      Установіть відповідність між заданими многогранниками (1-3) та їхніми властивостями (А-Г): 1 прямокутний          А має десять вершин паралелепіпед           Б має чотири   грані            2 трикутна                 В має дванадцять    піраміда                          ребер               3 п’ятикутна              Г має вісім ребер                призма                           А Б В Г 1 2 3

1.      Учень біля дошки доводить теорему про існування площини, яка проходить через дану пряму і дану точку.

2.      Фронтальне опитування:

a.       Скільки площин можуть задавати пряма і точка?

b.      Скільки площин можуть задавати дві прямі, які перетинаються?

c.       Скільки площин можна провести через три прямі, які мають спільну точку?

d.      Скільки площин можна провести через пряму і три точки, які не лежать на цій прямій?

ІІІ. Формулювання теми уроку. Сприйняття й усвідомлення матеріалу.

1.      Теорема формулювання і доведення(слайд 2).

2.      Виконання вправ (слайд 3)

3.      Взаємне розміщення прямої і площини у просторі (слайд 4).

ІV. Осмислення матеріалу

1.      Учні отримують заготовки до малюнків і колективно виконують завдання (Слайд 6, 7):

 

1.      Назвіть  дві  площини, які містять пряму  DE.

2.       Назвіть пряму,  по якій перетинаються  площини  АЕF  і  SBC.

3.      Назвіть  площину,  яку перетинає  пряма  SB.

4.      Назвіть  дві  площини, які містять пряму  FE.

5.       Назвіть пряму,  по якій перетинаються  площини  BDЕ  і  SAC.

6.      Назвіть  площину,  яку перетинає  пряма  AC.

2. Письмове розв’язування задач (слайд 8).

V. Підсумок уроку.

ü     Що можна стверджувати про пряму, дві точки якої належать даній площині?

ü     Яке взаємне розміщення прямої і площини?

ü     Як можна задати площину?

Оголошення оцінок.

  VІ. Домашнє завдання (слайд 9).

1.      Точка К не лежить на прямій а. Доведіть, що всі прямі, які проходять через точку К і перетинають пряму а, лежать в одній площині.

2.      У трикутнику АВС вершини А,В і середина сторони АС лежать у площині β. Доведіть, що всі сторони трикутника лежать у площині β.

3.      Квадрати ABCD і АВC₁D₁ не лежать в одній площині. Точки М і N – середини відрізків СВ і А D₁ відповідно. Побудуйте точку перетину:

a.      Прямої DМ із площиною квадрата АВC₁D₁ ;

b.      Прямої C₁N із площиною квадрата ABCD.

Урок 4.

Тема. Існування площини, яка проходить через три дані точки

Мета: вивчення теореми про існування єдиної площини, яка проходить через три точки, які не лежать на одній прямій; сформувати вміння учнів застосовувати теорему до розв’язування задач.

Обладнання: моделі многогранників, презентація.

Тип уроку: засвоєння нових знань, формування вмінь.

Хід уроку

І. Організаційний момент.

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

1.      Три учні біля дошки відтворюють задачі домашнього завдання.

2.      Відповісти на питання:

a.       Сформулюйте аксіому, яка відповідає малюнку. У зошитах запишіть відповідні записи. (слайд1).

b.      Довести теорему про пряму, дві точки якої належать площині. (слайд2)

c.       За відповідними записами назвіть взаємне розміщення прямої і площини. (слайд3)

ІІІ. Формулювання теми, мети і завдань уроку.

ü     Які способи задання площини ви знаєте?

ü     Чи існує площина, яка проходить через три точки, які не лежать на одній прямій? (слайд4)?

ІV. Сприйняття й усвідомлення матеріалу

ü     Підготовлений  заздалегідь учень доводить теорему (слайд5).

ü     Приклади практичного застосування доведеного факту: журнальний столик, крісло. Стільчик на трьох ніжках, штатив у формі триноги. (слайд6)

V. Розв’язування вправ.

            Усні вправи:

1.      Через точки А, В, С проходять дві різні площини. Як розміщені точки А, В, С?

2.      Чи можна провести площину через три точки, які лежать на одній прямій?

Письмові вправи:

1.      Дано чотири точки, які не лежать в одній площині. Скільки можна провести різних площин через три із них?

2.      Скільки площин можна провести через точки А, В, С, якщо:

a.      АВ = 6 см, ВС = 8 см, АС = 10 см;

b.     АВ = 5 см, ВС = 9 см, АС = 14 см?

VІ. Підсумок уроку. (слайд 8, 9)

1.      Сформулюйте аксіоми стереометрії

2.      Сформулюйте теореми – наслідки із аксіом

3.      Сформулюйте способи задання площини

4.      Оцінки за урок

VІІ. Домашнє завдання (слайд 10).

Урок 5.

Тема. Розв’язування вправ. Побудова перерізів многогранників

Мета: формувати вміння учнів застосовувати вивчені аксіоми стереометрії та їх наслідки до розв’язування задач, побудови простих перерізів многогранників. Розвивати здібності учнів, підвищувати інтерес до математики. Розвивати просторову уяву учнів.

Обладнання: моделі многогранників, презентація.

Тип уроку: формування і узагальнення  вмінь і навичок.

Хід уроку

І. Організаційний момент.

ІІ. Актуалізація опорних знань

1.      На моделях многогранників показати вершини, ребра, грані.

2.      Сформулюйте твердження до малюнків. (слайд 1).

ІІІ. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу.

Перерізом многогранника називається многокутник, який утворюється при перетині многогранника з площиною. Вершини цього многокутника є точками перетину січної площини з ребрами многогранника, а сторони – частинами прямих перетину січної площини з його гранями.

Наприклад, слайд 3.

Для побудови простих перерізів необхідно вміти розв'язувати дві опорні задачі:

1) будувати лінію перетину двох площин: для цього  знаходять дві точки шуканої прямої і через них проводять пряму.

2) будувати точку перетину прямої і площини.

Наприклад:

1.     Дано зображення трикутної піраміди. Побудуйте переріз піраміди площиною, яка проходить через пряму АВ і точку С.(слайд 4)

2.     Дано зображення куба. Побудуйте переріз куба площиною, яка проходить через пряму АВ і точку С. (слайд 4)

3.     Точка М – середина ребра АА₁ куба ABCDА₁В₁C₁D₁. Побудуйте точку перетину прямої D₁М з площиною основи ABCD. (слайд 5).

a.     Назвіть площину бічної грані,  якій належить пряма  D₁М.

b.    Назвіть пряму, яка лежить у знайденій бічній грані і площині основи ABCD.

c.     Побудуйте шукану точку.

ІV. Розв’язування вправ.

Задача1 – задача3 (слайд 6 – слайд 8): вчитель коментує, учні допомагають, записують у зошит

V. Домашнє завдання (слайд 9).

Урок 6.

Тема. Контрольна робота

Мета: перевірити рівень засвоєння учнями аксіом стереометрії та наслідків з них.

Тип уроку: контроль знань і вмінь .

Обладнання: комп’ютери, варіанти завдань.

Хід уроку.

І. Організаційний момент

ІІ. Контрольна робота

Учням пропонується 6 варіантів контрольної роботи.

Учням, які мають початковий та середній рівень досягнень пропонується пройти тест за даною темою, а також тим учням, які закінчили роботу раніше пропонованого часу.

ІІІ. Підсумок уроку.

Зібрати зошити. Відповісти на питання учнів по контрольній роботі.